تابع روشی برای توصیف وابستگی یک کمیت به کمیت دیگر است. وقتی هزینه به تعداد کالا، دما به زمان یا مسافت به سرعت وابسته میشود، با یک مدل تابعی روبهرو هستیم. فهم تابع زمانی کامل است که بتوانیم میان جدول، رابطه جبری و نمودار رفتوآمد کنیم.
در پایان چه چیزی به دست میآورید؟
- تشخیص ورودی، خروجی و شرط یکتایی خروجی.
- تعیین دامنه بر اساس فرمول و معنای مسئله.
- تفسیر شیب، عرض از مبدأ، نقاط قطع و بازههای تغییر.
تابع دقیقاً چه میگوید؟
در تابع، به هر ورودی مجاز دقیقاً یک خروجی نسبت داده میشود. ممکن است دو ورودی خروجی یکسان داشته باشند، اما یک ورودی نمیتواند همزمان دو خروجی متفاوت داشته باشد. آزمون خط عمودی همین شرط را روی نمودار بررسی میکند.
نماد f(x) نام خروجی متناظر با x است و به معنای ضرب f در x نیست. انتخاب نام متغیر باید با مسئله هماهنگ باشد؛ مثلاً C(n) برای هزینه بر حسب تعداد، خوانایی مدل را بهتر میکند.
- ورودی یا متغیر مستقل
- خروجی یا متغیر وابسته
- قانون ارتباط ورودی و خروجی
- دامنه ورودیهای مجاز
دامنه و برد فقط محاسبه جبری نیستند
فرمول محدودیتهای ریاضی ایجاد میکند: مخرج نباید صفر باشد و عبارت زیر رادیکال زوج نباید منفی شود. مسئله واقعی نیز محدودیت دارد؛ تعداد افراد عدد صحیح نامنفی و زمان شاید فقط در بازه یک آزمایش معتبر باشد.
برد مجموعه خروجیهای ممکن است. برای تعیین برد از نمودار، کمترین و بیشترین ارتفاع و پیوستگی مسیر را بررسی کنید. در مسائل واقعی، واحد و بازه خروجی باید در پاسخ نوشته شود.
چگونه نمودار را بخوانیم؟
عرض از مبدأ مقدار اولیه را نشان میدهد. شیب متوسط نسبت تغییر خروجی به تغییر ورودی است و علامت آن جهت تغییر را مشخص میکند. نقاط اوج، کمینه و نقاط قطع با محورها اطلاعات مهمی درباره رفتار مدل میدهند.
محورهای بدون نام و واحد، نمودار را ناقص میکنند. پیش از هر تفسیر، مقیاس دو محور را بخوانید؛ فاصلههای ظاهراً برابر ممکن است مقادیر متفاوتی داشته باشند.
- نام و واحد دو محور را مشخص کنید.
- دامنه نمایشدادهشده و مقیاس را بخوانید.
- نقاط شاخص و بازههای صعود یا نزول را پیدا کنید.
- هر مشاهده را با یک جمله مرتبط با مسئله تفسیر کنید.
ارتباط جدول، فرمول و نمودار
جدول چند نمونه از رابطه را نشان میدهد، فرمول امکان محاسبه و تعمیم میدهد و نمودار رفتار کلی را آشکار میکند. حل حرفهای از هر سه نمایش استفاده میکند و نتیجه یکی را با دیگری کنترل میکند.
برای رسم دستی، چند نقطه تصادفی کافی نیست. نقاط قطع، رأس یا مرز دامنه را ابتدا پیدا کنید و سپس نقاط تکمیلی بسازید. شکل نمودار باید با ویژگیهای جبری تابع سازگار باشد.
- ورودی و خروجی را با واحد مشخص کردهام.
- دامنه را هم از فرمول و هم از متن مسئله بررسی کردهام.
- مقیاس محورهای نمودار را خواندهام.
- نتیجه را با زبان مسئله، نه فقط نماد ریاضی، نوشتهام.
پرسشهای رایج
آیا هر رابطه یک تابع است؟
خیر. اگر یک ورودی بیش از یک خروجی داشته باشد، رابطه تابع نیست.
فرق شیب با مقدار تابع چیست؟
مقدار تابع ارتفاع نمودار در یک ورودی است؛ شیب سرعت و جهت تغییر خروجی نسبت به ورودی را بیان میکند.